quarta-feira, 11 de março de 2009

GEOMETRIA COM CANUDOS

GEOMETRIA COM CANUDOS

A geometria é, freqüentemente, ensinada no quadro negro ou através de Icosaedro montado com canudoslivros didáticos. Quando se trata de figuras planas esse método não representa grande dificuldade para o aprendizado da criança. Mas o mesmo não se pode dizer quando se deseja ensinar os elementos da geometria espacial. Portanto, neste material, sugiro a utilização de canudos de refrigerante na montagem de estruturas geométricas, como a mastrada na figura ao lado.

Pode-se ensinar geometria espacial por intermédio da montagem de sólidos, em que a criança recorta um desenho numa folha de cartolina e, através de dobraduras e colagem, monta um sólido geométrico. Porém, a atividade que é proposta aqui, além de possibilitar que a criança construa estruturas e "brinque" com a geometria espacial, torna possível a visualização de alguns elementos que na atividade com cartolina são menos notados. Estes elementos são as arestas e os vértices dos sólidos.


A estrutura mais simples para se montar é a do tetraedro (poliedro de quatro faces) que possui 6 arestas e 4 vértices. Na figura ao lado nota-se que cada aresta do tetraedro corresponde a um canudo. Portanto, para montá-lo será necessário dispor de 6 canudos de refrigerante.

Ligar um canudo ao outro pode parecer algo complicado a princípio, mas essa tarefa ficará mais fácil depois de algumas tentativas.






Para começar a construção da estrutura deve-se iniciar pela base (alicerce), que é um triângulo. Se o tetraedro é regular então o triângulo deverá ser equilátero. A construção da base começa passando-se o barbante por três canudos.



Depois de passar o barbante pelos canudos passa-se novamente pelo primeiro canudo da fileira. Desse jeito não será preciso dar um nó, ainda.


Concluída esta etapa temos a estrutura como mostrada na figura ao lado. Assim já podemos levantar o tetraedro, que também é uma pirâmide de base triangular.





Pegamos a ponta do barbante que acabamos de passar pelo canudo da base e passamos por dois outros canudos.




Em seguida passamos o barbante por mais um canudo da base. A ponta sairá na outra extremidade e poderemos passá-la pelo último canudo.


Assim como fizemos para fechar o triângulo da base, faremos para fechar o tetraedro. Ou seja, passaremos mais uma vez o barbante por dentro do canudo mostrado na figura ao lado. Para que a estrutura fique bem firme é interessante passar o barbante duas vezes pelo mesmo canudo.





Com isso as extremidades adjacentes dos canudos ficarão conectadas.Em vez de usar barbante para unir os canudos pode-se usar bolinhas de isopor ou massa de modelar.



Outro poliedro que pode ser montado é o cubo (hexaedro). Ele tem 6 faces e 12 arestas, necessitando, assim, de 12 canudos. Porém a estrutura não ficará estável, ou seja, ela não fica de pé facilmente. Sendo preciso fazer várias conexões entre os vértices opostos.

Já a pirâmide de base quadrada fica de pé, mas se manuseada ela pode deformar-se. Para construí-la serão necessários 8 canudos.





Construindo um Dodecaedro com Canudos

Um dodecaedro é um poliedro regular de 12 faces, e cada face é um pentágono de lado l. Como cada pentágono possui 5 vértices, teríamos 5·12 = 60 vértices. Mas podemos perceber que três pentágonos compartilham o mesmo vértice, resultando em 60/3 = 20 vértices ao todo.
O mesmo procedimento é utilizado para as arestas: temos 5 arestas em cada pentágono, o que resultaria em 5·12 = 60 arestas no dodecaedro. Contudo, notamos que dois pentágonos são ligados pela mesma aresta. Assim teremos 60/2 = 30 arestas neste sólido.

Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro. Porém um jeito que achei mais interessante é através da estrutura montada com canudos de refrigerante. De início se nota que cada aresta corresponderá a um canudo, ou seja, 30 canudos. Todavia, dependendo do método que se usa para unir estes canudos, a estrutura não ficará estável e o seu dodecaedro poderá virar um "tortaedro".
Eu usei barbante passando pelos canudos para construir a estrutura. Mas, para a estrutura ficar firme, precisei ligar todos os vértices ao centro do dodecaedro, como mostrado na figura ao lado.

Para essa brincadeira precisei de mais 20 canudos! Um para cada vértice. Ao todo será necessário usar 50 canudos e muito barbante. Contudo, os canudos têm comprimentos diferentes. Veja a figura ao lado:





A construção começa pela base, que é um pentágono, e depois levantamos a pirâmide. Mas não é uma pirâmide qualquer, pois o dodecaedro deverá ter no fim do processo 12 pentágonos iguais, e para que isso ocorra esta pirâmide deverá ter uma altura específica.
Através das características do pentágono podemos encontrar a apótema a e a distância b do centro ao vértice do pentágono.



Depois de alguma álgebra é possível concluir que a altura h da pirâmide vale:

Lembre-se que l é o lado do pentágono, e também o comprimento dos canudos que formam as arestas. Por fim, utilizando Pitágoras, encontramos o comprimento dos canudos que ligarão os vértices como sendo de 1,4·l, ou seja, se você for construir um dodecaedro de arestas medindo 20 cm, então os canudos internos deverão medir 1,4·20 = 28 cm.
Lista de materiais:

o
30 canudos de comprimento l para as arestas;
o
20 canudos de comprimento 1,4·l, para a estrutura interna;
o
no mínimo um barbante de comprimento 116·l, que corresponde a duas passadas em cada canudo;
o
e muita paciência.

Em seguida são apresentados alguns poliedros que podem ser construídos com canudos:

Pirâmide de base quadrada Pirâmide de base pentagonal Octaedro






Pirâmide de base pentagonal



Octaedro

5 faces;

5 vértices;

8 arestas;

e 8 canudos para construí-la.



6 faces;

6 vértices;

10 arestas;

e 10 canudos para construí-la.

8 faces;

6 vértices;

12 arestas;

e 12 canudos.

Decaedro



Dodecaedro



Icosaedro

10 faces;

7 vértices;

15 arestas;

e 15 canudos para montá-lo.
12 faces;

20 vértices;

30 arestas;

e 50 canudos (30 das arestas e 20 dos vértices). Muita paciência também é necessária.
20 faces;

12 vértices;

30 arestas;

e 30 canudos.



Para finalizar, a título de curiosidade, o teorema de Euler sobre poliedros pode ser uma brincadeira interessante.
Segundo este teorema, se pegarmos um poliedro de F faces, V vértices e A arestas, teremos a seguinte relação: F + V – A = 2.

Mas, será que funciona mesmo? Vamos ver:

Tetraedro: F = 4, V = 4, A = 6: F+V-A = 4+4-6 = 2;
Pirâmide de base quadrada: F = 5, V = 5, A = 8: F+V-A = 5+5-8 = 2;
Cubo: F = 6, V = 8, A = 12: F+V-A = 6+8-12 = 2;
Octaedro: F = 8, V = 6, A = 12: F+V-A = 8+6-12 = 2;
Decaedro: F = 10, V = 7, A = 15: F+V-A = 10+7-15 = 2;
Dodecaedro: F = 12, V = 20, A = 30: F+V-A = 12+20-30 = 2;
Icosaedro: F = 20, V = 12, A = 30: F+V-A = 20+12-30 = 2.

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